6 ECTS credits
150 u studietijd
Aanbieding 1 met studiegidsnummer 1012235BNR voor alle studenten in het 2e semester met een verdiepend bachelor niveau.
De Analyse levert vele natuurlijke voorbeelden van metrische of genormeerde ruimten. Naast de Euclidische ruimten zijn er in de Analyse vele andere situaties waar een afstand op een natuurlijke wijze gemeten wordt. Delen van Euclidische ruimten bijvoorbeeld of ruimten van (kwadratisch) sommeerbare rijen of allerhande ruimten van functies, begrensde functies of (kwadratisch) integreerbare functies dragen alle een metriek.
De topologie houdt zich bezig met het klassificeren van zulke ruimten. In de topologische klassificatie heten ruimten equivalent als ze homeomorf zijn.
Dit betekent dat de ene in de andere op continue wijze om te vormen is. Topologie wordt daarom beschouwd als een "rubberen" meetkunde, bij het transformeren is rekken en trekken toegelaten, scheuren niet. Afstanden spelen hierbij niet langer een rol. De reële rechte is bijvoorbeeld homeomorf met een open interval.
Het effectief construeren van een homeomorfisme is echter niet altijd eenvoudig. De topologie beschikt daarom over topologische invarianten, eigenschappen van ruimten die bewaard blijven bij homeomorfismen.
Compactheid is een voorbeeld van zulke invariant.
Andere invarianten die zullen worden bestudeerd zijn separatieaxioma's, separabiliteit en samenhang.
Bij de klassificatie die we bestuderen spelen zekere constructies een belangrijke rol, het maken van nieuwe ruimten uit oude. Fundamentele constructies zijn o.a. producten en quotienten. Constructies kunnen niet altijd (zonder cardinaliteitsbeperkingen) in het metrische kader uitgevoerd worden.
Dit gebrek heeft o.a. het welbekende gevolg dat puntsgewijze convergentie van rijen van functies, i. h. a. niet kan beschreven worden aan de hand van een metriek.
In de cursus Topologie wordt een nieuw kader beschreven waarin deze problemen een oplossing krijgen. Abstracte Topologische ruimten worden ingevoerd door het begrip "open"verzameling te axiomatiseren en "convergentie" en "continuïteit" worden in het nieuwe kader gedefiniëerd. De fundamentele constructies waarvan hoger sprake worden beschreven en Topologische eigenschappen zoals Separatie, Compactheid en Samenhang hebben ook in dit kader een natuurlijke betekenis.
Tenslotte wordt de abstracte theorie toegepast om de compacte delen van functieruimten te karakteriseren. Het college eindigt aldus bij de problematiek van functieruimten die historisch gezien de aanzet was voor het ontstaan van de Topologie.
Beknopte syllabus is beschikbaar.
- De student kan abstractie maken van de metrische context en beheerst noties van convergentie en continuiteit in een topologisch kader.
- De student heeft inzicht in de essentiële verschillen met een metrizeerbare context en kent de impact daarvan op de studie van compactheid.
- De student kan topologische eigenschappen aanwenden om ruimten te klassificeren.
- De student kan vlot werken met initiale en finale constructies, ziet hiervan het belang in voor de studie van functieruimten en heeft inzicht in resultaten zoals de stelling van Ascoli-Arzela voor uniforme convergentie op compacte delen.
- De student kan de opbouw van bewijzen ontleden en heeft zich de logische redenering die eraan ten grondslag ligt eigen gemaakt. De student ziet in waar in een bewijs van een bewering op gestelde condities wordt gesteund.
- De student kan eenvoudige bewijzen, die als oefening gelaten worden of die slechts schematisch in de syllabus of tijdens het hoorcollege worden weergegeven, zelf verder uitwerken en kan ontbrekende argumentatie zelf invullen.
- De student kan eigenschappen correct wiskundig formuleren en bewijzen correct opschrijven.
- De student heeft inzicht in de materie, heeft nieuwe begrippen en resultaten grondig verwerkt en ziet verbanden tussen de verschillende concepten.
- De student legt verbanden tussen de concepten enerzijds en voorbeelden die de materie illustreren anderzijds.
- De student herkent het verband met begrippen zoals ze in andere studiedelen worden ingevoerd.
- De student kan op zelfstandige wijze problemen oplossen: hij/zij is bekwaam om een probleem als dusdanig te herkennen, om een aangepaste strategie aan te wenden, om uit beschikbare methoden de meest geschikte te kiezen.
De beoordeling bestaat uit volgende opdrachtcategorieën:
Examen Mondeling bepaalt 60% van het eindcijfer
Examen Schriftelijk bepaalt 40% van het eindcijfer
Binnen de categorie Examen Mondeling dient men volgende opdrachten af te werken:
Binnen de categorie Examen Schriftelijk dient men volgende opdrachten af te werken:
Mondeling examen over de theorie (60%) en schriftelijk over de oefeningen (40%).
Deze aanbieding maakt deel uit van de volgende studieplannen:
Bachelor in de wiskunde en Data Science: Standaard traject