6 ECTS credits
180 u studietijd
Aanbieding 1 met studiegidsnummer 1007406ANR voor alle studenten in het 2e semester met een inleidend bachelor niveau.
Alhoewel algebra vele toepassingen heeft in andere disciplines,
zoals bijvoorbeeld fysica, scheikunde en informatica, beperken wij
ons in deze cursus voornamelijk tot de "abstracte algebra". Wij
behandelen dus algebraische systemen; i.h.b. bestuderen wij
groepen.
In deze cursus geven wij een inleiding tot de groepentheorie. Via
deze studie leert men bovendien abstract redeneren en abstracte
theorieen begrijpen, en leert men strategieen voor het
oplossen van problemen. Tenslotte worden er ook twee topics uit de computationele groepentheorie behandeld.
Onder andere de volgende onderwerpen komen aan bod: groepen van
kleine orde, permutatiegroepen, lineaire groepen, cyclische
groepen, voortbrengers van groepen, normaaldelers,
quotientgroepen, homomorfismestellingen, stellingen van
Lagrange en Cauchy, vrije groepen, presentaties van groepen, het bepalen van de voortbrengende relaties van een groep, de grondstelling van eindige en eindig
voorgebrachte abelse groepen, acties van groepen en de Sylow stellingen, Cayleygraaf van een groep en Rubiks kubus.
De theorie wordt geillustreerd met voorbeelden. In de
oefeningen wordt onder andere aan deze voorbeelden, als ook aan de
nodige technieken, verder aandacht besteed. Op deze wijze
verkrijgt men algebraische intuitie en leert men
axiomatische- en verschillende bewijsmethoden.
Inhoud van de cursus (2 uur hoorcollege per week)
1. Inleiding, Definitie en Voorbeelden
1.1 Definities
1.2 Voorbeelden
1.3 Ringen en meer voorbeelden
1.4 Vermenigvuldigingstabel
1.5 Eelementaire Eigenschappen
1.6 De orde van een element
1.7 Vergelijkingen in groepen
1.8 Directe producten
2. Deelgroepen
2.1 Definitie
2.2. Speciale deelgroepen
2.3 Voortbrengers
3. Nevenklassen
3.1 Definitie
3.2 Stelling van Lagrange
3.2 Toepassingen
4. Normale Deelgroepen
5. Quotientgroepen
5.1 Definitie
5.2 Deelgroepen en quotientgroepen
6. Homomorfismen
6.1 Definitie
6.2 Isomorfismen
6.3 Homomorfismestellingen
7. Permutatiegroepen
7.1 Stelling van Cayley
7.2 Eindige Permutatiegroepen
8. Definiërende relaties van een groep
8.1 Vrije groepen en groepen gedefinieerd door generatoren en relaties
8.2 Definiërende relaties van een groep
8.3 Het Colouring algoritme
8.4 Implementatie en voorbeelden
9. Eindige Abelse Groepen
9.1 Directe Producten
9.2 Fundamentele Stelling
10. Acties
10.1 Definitie
10.2 Orbiet-Stabilsatorstelling
10.3 Semidirecte product van groepen
10.4 Sylowstellingen
11. Rubiks kubus
12. Oefeningen
Ook zijn er wekelijks 2 uren oefeningenzittingen (aangeboden door een assistent).
Oefeningenzittingen in contactonderwijs en zelfstandige huiswerken. Tijdens de
oefeningenzittingen worden voorbeeldoefeningen klassikaal opgelost. Geregeld wordt een klassikaal huiswerk opgegeven met oefeningen die aansluiten op de klassikaal
gemaakte oefeningen. Elke student moet uiterlijk op de aangeduide deadline zijn
projectoefeningen schriftelijk binnenleveren bij de assistent. Dit schriftelijk document wordt ook beoordeeld op de schriftelijke communicatievaardigheden. Dus dit moet zowel wiskundig inhoudelijk duidelijk zijn alsook een duidelijk document zijn qua stijl.
Syllabus: Algebra I
Nota's beschikbaar via: http://homepages.vub.ac.be/~efjesper
Aanvullend studiemateriaal:
M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 2013. (ISBN 9781292027661)
I.N. Herstein, Abstract algebra, Prentice Hall, 1996.
J.F. Humphreys, A course in group theory, Oxford Science
Publications, Oxford, 1996.
1. Student kent basisbegrippen van inleiding groepentheorie.
2. Student kan basisbegrippen van groepentheorie toepassen op voorbeelden.
3. Student kan basisbegrippen van groepentheorie herkennen in andere voorbeelden en bewijzen van eigenschappen.
4. Student kan probleemoplossend denken.
5. Student kan eenvoudige bewijzen herconstrueren.
6. Student kan zelfstandig een wiskundige tekst schrijven over oplossingen van oefeningen.
7. Student maakt kennis met software pakket GAP, Groups Algebras and Programming.
De beoordeling bestaat uit volgende opdrachtcategorieën:
Examen Andere bepaalt 100% van het eindcijfer
Binnen de categorie Examen Andere dient men volgende opdrachten af te werken:
Schriftelijk Oefeningenexamen (40%) en mondeling examen (theorie,
60%). Een cijfer wordt alleen toegekend als aan alle proeven wordt deelgenomen.
Deze aanbieding maakt deel uit van de volgende studieplannen:
Bachelor in de toegepaste economische wetenschappen: minor onderwijs
Bachelor in de fysica en de sterrenkunde: Standaard traject
Bachelor in de politieke wetenschappen en de sociologie: - afstudeerrichting sociologie, minor onderwijs
Bachelor in de wiskunde en Data Science: Standaard traject
Educatieve master in de maatschappijwetenschappen: politieke wetenschappen en sociologie (90 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: biologie (120 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: geografie (120 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: chemie (120 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: fysica (120 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: computerwetenschappen (120 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: ingenieurswetenschappen (120 ECTS, Etterbeek)
Educatieve master in de economie: standaard traject (90 ECTS, Etterbeek)