6 ECTS credits
150 u studietijd
Aanbieding 1 met studiegidsnummer 4013341ENR voor alle studenten in het 2e semester met een verdiepend master niveau.
De klassieke paradoxen in de wiskunde, zoals de Russel paradox en die van Burali-Forti, maken het noodzakelijk de fundamenten van de wiskunde axiomatisch te beschrijven. Anderzijds blijkt voor verschillende open problemen uit de abstracte analyse, uit de maattheorie of uit de topologie, de afhankelijkheid van de gebruikte axiomatiek. Naast de klassieke ZFC-axioma’s spelen de continuum hypothese en axioma’s over grote cardinalen een belangrijke rol.
We beogen ook een fundering te geven voor categorietheorie. Het bestaan van een universum wordt aan ZFC als axioma toegevoegd en de betekenis in termen van de hierarchie, "verzamelingen, klassen, conglomeraten" wordt uiteengezet. Tegelijk wordt het verband gelegd met het bestaan van sterk inaccessiebele cardinalen.
Inhoud:
Naïve verzamelingenleer: welordening, ordinalen, cardinalen, bewerkingen op cardinalen, reguliere en singuliere cardinalen, gesloten klasse van cardinalen, continuum hypothese.
Axiomatische verzamelingenleer: taal van ZF, Zermelo Fraenkel axioma’s, recursieve functies.
Keuze axioma, equivalente formuleringen en gevolgen voor de wiskunde.
Consistentie, voorbeelden van onbeslisbare formules in ZFC.
Het model van de welgefundeerde verzamelingen, funderingsaxioma.
Universa en sterk inaccessiebele cardinalen.
Onvolledigheidsstelling van Gödel.
cursusnota's worden door de docent verstrekt
- De student heeft inzicht in het belang van een axiomatische fundering van de wiskunde en in de impact ervan op verschillende domeinen, zoals maattheorie, analyse, topologie en algebra.
- De student kent verschillende equivalente formuleringen van het keuzeaxioma en de impact ervan buiten de verzamelingenleer.
- De student kan rekenen met oneindige cardinalen en kan deze rekenvaardigheid toepassen.
-De student begrijpt het onderscheid tussen reguliere en singuliere cardinalen, kent de betekenis van het axioma dat stelt dat sterk inaccessiebele cardinalen bestaan en kent het verband hiervan met het bestaan van universa.
- De student kent de betekenis van relatieve consistentie en kent voorbeelden van onbeslisbare formules in ZFC.
- De student heeft inzicht in de materie, heeft nieuwe begrippen en resultaten grondig verwerkt en ziet verbanden tussen de verschillende concepten.
- De student herkent het verband met begrippen zoals ze in andere studiedelen worden ingevoerd.
- De student kan de opbouw van bewijzen ontleden en heeft zich de logische redenering die eraan ten grondslag ligt eigen gemaakt. De student ziet in waar in een bewijs van een bewering op gestelde condities wordt gesteund.
- De student kan bewijzen, die als oefening gelaten worden of die slechts schematisch in de syllabus of tijdens het hoorcollege worden weergegeven, zelf verder uitwerken en kan ontbrekende argumentatie zelf invullen.
- De student kan eigenschappen correct wiskundig formuleren en bewijzen correct opschrijven.
- De student kan op zelfstandige wijze problemen oplossen: hij/zij is bekwaam om een probleem als dusdanig te herkennen, om een aangepaste strategie aan te wenden, om uit beschikbare methoden de meest geschikte te kiezen.
De beoordeling bestaat uit volgende opdrachtcategorieën:
Examen Mondeling bepaalt 100% van het eindcijfer
Binnen de categorie Examen Mondeling dient men volgende opdrachten af te werken:
Mondeling
Deze aanbieding maakt deel uit van de volgende studieplannen:
Master in de wiskunde: fundamentele wiskunde
Master in de wiskunde: onderwijs
Educatieve master in de wetenschappen en technologie: wiskunde (120 ECTS, Etterbeek)